Seçme Sorular ve Çözümleri
Soru 1) ‘1965 Putnam’:
B açısı geniş açı olan ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü C açısının ölçüsünden küçüktür. A açısının dış açıortayı BC doğrusunu D noktasında, B açısının dış açıortayı AC doğrusunu E noktasında kesiyor. |BA|=|AD|=|BE| olduğuna göre, s(A) kaç derecedir?
Çözüm:
Soru 2) ABC üçgenin kenar uzunlukları a, b, c ise ; (a/(b+c)) + (b/(a+c)) + (c/(b+a)) <2 olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
Soru 3) 15°-75°-90° dik üçgeninde gösteriniz ki hipotenüse ait yükseklik 1 br ise hipotenüs 4 br dir.
Çözüm:
Kanıtsız 2 teorem ,1 tanım ve Sonuçlarına Dair:
Fermat’ın küçük teoremi; p asal ve a sayısını bölmüyorsa a üzeri p-1, mod p ‘de 1 ‘e denk olacaktır.
Euler Fonksiyonu; n pozitif bir tam sayı olsun. Ø(n) ile n’den küçük ve n ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısı ifade edilmektedir.
Euler Fonksiyonunun Özellikleri; p asal sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere
- Ø(p)= p-1
- Ø(p^n)= p^n-p^n-1
- (n,m)=1 ise Ø(n.m)= Ø(n). Ø(m)
Euler Teoremi; n pozitif bir tam sayı ve (a,n)=1 ise a^Ø(n) mod n’ de 1'e denktir.
Peki bu tanım ve teoremlerin sonucunda neler yapabiliriz? Aşağıda bir örnek.
Örnek 1) 55 üzeri 2001 sayısının 12 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
Çözüm) Ø(12)= Ø(2^2). Ø(3)= (2^2–2). (3–1)= 4 ise 7^4≡1(mod12) elde edilir.
55^2001≡7^2001≡ (7^4)^500. 7 ≡ 7 (mod12) o halde kalan 7'dir.
