Sayılar Teorisinden Birkaç Soru ve Çözüm

Soru 1) n>1 tam sayı olmak üzere, x, y ve z pozitif tam sayılar olsun. x^n-y^n= 2^100 denkleminin kaç tane çözümü vardır?

Çözüm) Öncelikle soruyu ayrı durumlara ayırıp çözeceğiz.

İlk olarak n= 2 durumu için çözüm kümemizi bulalım ;

x^2- y^2= (x+y) (x-y)= 2 ^100 . (x+y) ve (x-y) 2’nin kuvveti olmak zorundadır ve her ikiside çift olmak zorundadır. Buraya kadar kabullerimiz anlaşıldıysa (x-y) > 1 olduğunu da açıkça görmüş olabiliriz. Dolayısıyla y>0 olduğundan, 0<a<b ve a+b=100 olacak şekilde a ve b tam sayıları için,

x-y=2^a

x+y=2^b

denklemlerini elde ederiz. Bu denklemleri çözdüğümüzde

x= 2^b-1 + 2^a-1

y= 2^b-1–2^a-1

eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden aradığımız çözümler: (a,b)= (1,99), (2,98), …, (49, 51) ‘dir. Dolayısıyla 49 tane tam çözümü vardır.

n=4 durumu;

Fermat’ın son teoreminden y^4 +( 225)^4 =x4 denkleminin çözümü yoktur.

n>4 çift tam sayıları durumu;

Negatif olmayan tam sayı çözümleri için daha genel olan x^n- y^n= 2^k ‘ yı ele alarak. 4’ten büyük n çift tam sayıları çözümü olmadığını göstereceğiz. Matematikte çok sık kullanılan çelişkiyle kanıt yöntemini kullanarak, bu denklemin çözümü olduğunu varsayalım. x^n — y^n =2^k olacak şekilde x, y ve n>2 pozitif tam sayılarını ve negatif olmayan tam sayısı seçelim. Ayrıca , n minimum olsun. n=2m dersek, (x^m — y^m ) (x^m + y^m) = 2^k olur. Fakat, m>2 ve bazı a ≥ 0 tam sayıları için x^m + y^m = 2a olması, n’nin minimum olmasıyla çelişmektedir. Bu yüz-

den, n>4 çift tam sayılarda çözümü yoktur.

n tek sayı olma durumu;

Pozitif k tam sayıları için, daha genel bir denklem x^n + y^n= 2^k ’yı ele

alarak, n tek tamsayıları için çözümün olmadığını göstereceğiz. Bir çözü-

mün olduğunu varsayalım. x^n -y^n= 2^k olacak şekilde x, y, n ve k pozitif

tam sayılarını seçelim. Ayrıca k minimum olsun. x ve y’nin her ikisinin

de çift ya da tek olduğu açıkça görülür.

(x-y) ( x^n-1 + x^n-2 y + … + yn-1 ) = 2k olduğu için; x ve y tek ise, ikinci terim tek terimlerin bir tek tam sayısını içerir ve bu yüzden tektir ancak bu durum mümkün değildir. Dolayısıyla, x

ve y çifttir. x=2υ ve y=φ dersek, υ^n — φ^n = 2^k-n olur. k-n>0 ise, bu durum k’ nın minimumluğuna uymaz. k-n=0 ise υn — φn = 1 denkleminin pozitif tam sayılarda çözümü yoktur.

Sonuç;

Bütün sonuçları bir araya getirirsek; x, y ve n>1 pozitif tam sayıları için x^n-y^n= 2^100 denkleminin 49 tane çözümü vardır.

Soru 2) x^2006 -4y^2006 -2006= 4y^2007 + 2007y denkleminin pozitif tam sayılarda çözümü olmadığını gösterin.

Çözüm) Denklemin pozitif tam sayı kökü olduğunu varsayalım ve bu
değerlere x ve y diyelim.Bu durumda

x^2006 + 1 = 4y^2006 (y + 1) + 2007(y + 1)

x^2006 + 1 = (4y^2006 + 2007) (y + 1)

Burada 4y^2006 + 2007 ≡ 3(mod4) olduğundan son ifadenin 4k+3 for-
munda bir asal çarpanı vardır.Ancak Fermatın küçük teoreminden(bu konuya başka bir yazıda değineceğiz.) dolayı bu durum olanaksızdır.

ED.