Matematikçiler Kanıtlarının Doğru Olduğunu Nasıl Bilirler?
Bu yazı bir çeviri yazısıdır. Orjinal metni yazımızın sonudaki kaynakça kısmında bulabilirsiniz. Keyifli okumalar.
Bir kanıtı tahminden daha güçlü yapan nedir? Matematiksel soyutlama alanında kanıtlar neye benziyor? Gelin bu konuyu Matematikçi Melanie Matchett Wood’tan dinleyelim.
İnsan sonsuzluk hakkında nasıl kesin olarak konuşabilir? Hepsini bilmeden gizemli asal sayılar hakkında gerçekten ne bilebiliriz? Bilim adamlarının hipotezlerini değerlendirmek için verilere ihtiyacı olduğu gibi, matematikçilerin de varsayımları kanıtlamak veya çürütmek için kanıtlara ihtiyacı vardır. Ancak sayı teorisinin soyut alanında kanıt olarak sayılan şey nedir? Bu bölümde Steven Strogatz, Harvard Üniversitesi’nde matematik profesörü olan Melanie Matchett Wood ile olasılık ve rasgeleliğin matematikçilerden talep edilen güçlü argümanlar için kanıt oluşturmaya nasıl yardımcı olabileceğini öğrenmek için konuşuyor.
Konuşmanın kaydına yazının orjinalinden ulaşabilirsiniz. Konuşmanın transkript halinin çevirisi yazımızda olacaktır.
Steven Strogatz (00:02): Ben, Quanta Magazine’den sizi günümüzün matematik ve fen alanındaki en büyük cevaplanmamış sorularından bazılarına götüren bir podcast olan The Joy of Why’dan Steve Strogatz. Bu bölümde matematikteki kanıtlardan bahsedeceğiz. Matematikçiler ne tür kanıtlar kullanır? Ellerinde kesin bir kanıt olmadan bir şeyin doğru olabileceğinden şüphelenmelerine neden olan nedir?
(00:26) Kulağa bir paradoks gibi gelebilir, ancak olasılık teorisine dayalı akıl yürütmenin, şans ve rastgelelik çalışmasının bazen matematikçilerin gerçekte neyin peşinde olduklarına yol açabileceği ortaya çıkıyor, ki bu sadece olasılık değil kesinliktir.Örneğin, sayı teorisi olarak bilinen matematik dalında, matematikçilerin neyin doğru olduğunu tahmin etmelerine yardımcı olmak için rastgeleliği kullanmanın uzun bir geçmişi vardır. Şimdi, olasılık, neyin doğru olduğunu kanıtlamalarına yardımcı olmak için kullanılıyor.
(00:53) Burada asal sayılara odaklanacağız. Muhtemelen asal sayıları hatırlıyorsundur, değil mi? Onları okulda öğrenmiş olmalısınız. Bir asal sayı, yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük bir tam sayıdır. Örneğin, 7 veya 11. Bunlar asal sayılardır, ancak 15 değil, 15 sayısı 3 ve 5'e bölünebilir. Asal sayıları, diğer tüm sayıları oluşturan bölünmez atomlar olmaları anlamında, kimyanın periyodik tablosundaki elementler gibi düşünebilirsiniz.
(01:27) Asal sayılar basit gibi görünür, ancak matematikteki en büyük gizemlerden bazıları asal sayılarla ilgili sorulardır. Bazı durumlarda, yüzlerce yıldır var olan soruları doğururlar. Asal sayılar hakkında gerçekten çok incelikte bir şeyler var. Düzen ve rastgelelik arasında bir sınırda yaşıyor gibiler. Bugünkü konuğum, matematikteki kanıtların doğası ve özellikle rastgeleliğin bize asal sayılar hakkında nasıl ve neden bu kadar çok şey anlatabileceğini ve olasılığa dayalı modellerin sayı teorisinin en ileri noktasında neden bu kadar yararlı olabileceğini anlamamıza yardımcı olacak. Tüm bunları tartışmak için şimdi bana katılan Melanie Matchett Wood, Harvard Üniversitesi’nde matematik profesörü. Hoş geldin Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Merhaba, sizinle konuşmak güzel.
Strogatz (02:11): Sizinle konuşmakta çok güzel, ben büyük bir hayranınızım. Matematik ve bilimden birbiriyle ilişkili olarak bahsedelim çünkü kelimeler sıklıkla birlikte kullanılır ve yine de matematikte ispat ve kesinliğe ulaşmak için kullandığımız teknikler bilimde yapmaya çalıştığımızdan biraz farklıdır. Örneğin, matematikte kanıt toplamaktan bahsettiğimizde, bilimde bilimsel yöntemle kanıt toplamaktan nasıl aynıdır veya nasıl farklıdır?
Wood (02:38): Matematiksel bir kanıt, bazı matematiksel iddiaların böyle olması gerektiğine ve başka türlü olamayacağına dair güçlü, eksiksiz bir mantıksal argümandır. Bilimsel bir teoriden farklı olarak — bugün sahip olduğumuz kanıtlara dayanarak sahip olduğumuz en iyi teori bu olabilir, ancak önümüzdeki 10 yıl içinde daha fazla kanıt elde edeceğiz ve belki yeni bir teori olacak — matematiksel bir kanıt bazı ifadelerin böyle olması gerektiğini söylüyorsa, bunun yanlış olduğunu 10 yıl ya da 20 yıl sonra keşfedemeyiz.
Strogatz (03:17): Matematikte ne tür şeyler kanıt sayılır?
Wood (03:19): Pek çok örnekte bir şeyin doğru olduğunu görebilirsiniz. Ve bunun pek çok örnekte doğru olmasına dayanarak, ki bunun bu gerçeğe kanıt olabileceğini söyleyebilirsiniz, bir varsayımda bulunabilirsiniz, matematikçilerin varsayım dediği şey, bir şeyin doğru olduğuna dair bir tahmindir. Ama o zaman, matematikçilerin isteyeceği şey, pek çok örnekte çalıştığını gördüğünüz şeyin her zaman iddia ettiğiniz gibi çalışacağının bir kanıtı olurdu.
Strogatz (03:49): Doğru, sadece kanıtların ağırlığından çok farklı bir şeydir. Bu, bir şeyin sonsuza dek, her zaman, her durumda doğru olmasının bir nedeni olduğuna dair bir ifadedir.
Wood (03:58): Ve sadece “ah, bir milyon vakaya baktım ve bu her birinde doğru.” Bu, her zaman doğru olduğunu tahmin etmek veya varsaymak için bir nedendir. Fakat matematikte, birçok vakaya veya kanıta dayanabilecek böyle bir tahmin ile bir teorem veya kanıta sahip olmak arasında bir ayrım yaparız, bu argüman her durumda hatta denemediklerinizde bile işe yarayacaktır.
Strogatz (04:25): Şimdi, matematikçiler doğası gereği titiz mi, yoksa çok sayıda olasılığa kadar doğru gibi görünen bir şeyin diğer büyük sayıların ötesinde doğru olmadığı durumlar var mı?
Wood (04:39): Ah, bu harika bir soru. İşte sevdiğim bir örnek, çünkü asal sayıları seviyorum. 2, 3, 5, 7 asal sayılarını incelerken yapabileceğiniz şeylerden birine bakıp şöyle diyebilirsiniz: “hey, bunlar 2'ye bölünebilir mi? Ve bunun pek de ilginç olmadığı bellidir. 2'den sonra hiçbiri 2'ye bölünemez. Hepsi tek sayıdır.(*2'ye bölündüğünde bir kalanını veren sayılar.ÇN)
(05:10) Ve sonra şöyle düşünebilirsiniz: “peki, bunlar 3'e bölünebilir mi?” Ve elbette, 3'ten sonra, asal oldukları için 3'e de bölünemezler. Ancak, bazılarını 3'e böldüğünüzde 1 kalanını elde ettiğinizi, 3'ün katından 1 fazla olduğunu fark edebilirsiniz. Yani 6'dan 1 fazla olan 7 veya 12'den 1 fazla olan 13 gibi şeyler. Ve bu asal sayılardan bazıları, örneğin 11 veya 17, 15'ten 2 fazla. 3'e böldüğünüzdeyse kalan 2 olacaktır. Çünkü 3'ün katlarından 2 fazladırlar.
(05:47) Ve böylece bu asalları takımlar halinde düşünebilirsiniz. Takım 1, 3'ün katından 1'den fazla olanların tümü ve Takım 2, 3'ün katından 2 fazla olanların tümü olacak şekilde. Asal sayıları listelerken, tüm asalları listeleyebilir ve sayabilir ve Takım 1'de kaç tane olduğunu ve Takım 2'de kaç tane olduğunu görebilirsiniz. Ve eğer bu sayıyı 600 milyara kadar yapsaydınız, her noktada, , Takım 1'de ki asal sayılardan daha fazla Takım 2'de asal sayı olduğunu görürdünüz. Bu nedenle, doğal olarak, her zaman Takım 1'de ki asallardan daha fazla Takım 2 de asal sayı olacağını varsayabilirsiniz.
Strogatz (06:33): Elbette. Kulağa öyle geliyor.
Wood: Bu durum 608 milyar civarında bir rakamda, tam rakamı unuttum, değişmektedir.
Strogatz (06:46): Ah, hadi ama.
Wood: Evet, gerçekten değişiyor. Ve şimdi birdenbire 1. Takım lider oldu. Yani, bu bir -
Strogatz (06:53): Bir dakika. Bekle, ama bu harika. Ne — şimdi, değişmeye devam ediyorlar mı? Devam ettikçe ne olduğunu biliyor muyuz? Sürekli değişiyorlar mı?
Wood (07:01): Evet, harika bir soru. Yani, gerçekten de, bu sonsuz sıklıkta değiştiklerini belirten bir teorem.
Strogatz (07:07): Gerçekten mi?
Wood: Bu asal sayıları çalışırken aklınızda bulundurmanız gereken harika bir örnek, bir şeyin ilk 600 milyar vaka için doğru olması onun her zaman doğru olacağı anlamına gelmiyor.
Strogatz (07:25): Ah, vay. Güzel. Tamam. Öyleyse, genel olarak bir varsayımdan bir kanıta nasıl ulaşırsınız?
Wood (07:31): Çok fazla duruma bağlı. Demek istediğim, varsayımlarımızın olduğu ve hiçbir kanıtımızın olmadığı birçok matematik durumu vardır. Yani bir varsayımdan bir kanıta ulaşmak için basit bir tarif yok, olsaydı o kadar çok ünlü açık problemimiz olmazdı ki, bilirsiniz, insanların bir şeyin belirli bir şekilde çalıştığını düşündüğü bazı varsayımlar var, ama kesin olarak bilmiyoruz. Ama bazen varsayım, bir şeyin doğru olduğuna dair nedenler önerebilir. Bazen sadece matematiksel teori, insanların yüzlerce yıldır geliştirmekte olduğu daha fazla matematiksel teori üzerine kuruludur ve bize bir kanıt bulabileceğimiz şeyleri anlamamız için birlikte çalışmamız için yeterli araç ve yapı sağlar. Ancak bu, varsayımın zorunlu olarak kanıta götürmesi demek değildir. Varsayım, insanlara kanıtı bulmaya çalışmak için ilham verebilir, ancak kanıtın ortaya çıkma şekli, varsayımın kendisinden tamamen ayrı olabilir.
Strogatz (08:31): Evet, insanları bir kanıt aramaya değer olduğuna dair güvene sahip olmaya iten, kanıtın yetersiz kaldığı kanıt türlerini sıralamakla veya listelemekle ilgileniyorum.
Wood (08:41): Evet, sadece örnek olmayan bir kanıt olarak adlandırabileceğimiz başka bir şey de buluşsal yöntem olabilir. Buluşsal yöntem, çok daha düşük bir titizlik standardı dışında, tartışmaya benzer bir şey olabilir. Bu tamam mıdır? “Bu gerçeği kesinlikle herhangi bir şüphe gölgesinin ötesinde kurmadım mı?” ama “öyle mi evet, oldukça makul görünüyor.” Buluşsal yöntem oldukça makul görünen bir akıl yürütme çizgisi olabilir, biliyorsun, ama aslında kesin bir argüman değil. Yani bu bir tür kanıt.
(09:12) Bazen, anlamaya çalıştığımız matematiksel sistemin temel unsurlarını yakaladığını düşündüğümüz bir model olabilir ve bu durumda, sisteminizin modelinizle aynı davranışa sahip olduğunu varsayarsınız.
Strogatz (09:30): Tamam. Bir noktada, bazı model ve varsayım örneklerini ve bilirsiniz, bazı sorularda ne ölçüde işe yarayıp yaramadıklarını duymak istiyorum, ama, sakıncası yoksa, ben Birkaç küçük kişisel şeye geri dönmek istiyorum, çünkü burada sayılardan bahsediyoruz ve siz bir sayı teorisyenisiniz. İnsanlar günlük yaşamlarında pek çok sayı kuramcısı karşılaşmazlar. Öyleyse, bize sayı teorisinin ne olduğunu ve ayrıca onu neden ilginç bulduğunu söyleyebilir misiniz? Neden onu çalıştığınız anlatır mısınız?
Wood (10:02) Sayı teorisi, tam sayıların matematiksel olarak incelenmesidir. Yani 1, 2, 3, 4, 5'i düşünün. Ve özellikle tam sayılarda önemli olan şeylerden biri de asal sayılardır. En başta açıkladığınız gibi, bunlar çarpma yoluyla diğer tüm sayıları oluşturabileceğimiz yapı taşlarıdır. Dolayısıyla, sayı teorisi tüm bu tam sayılarla ilgilendiği için, aynı zamanda bunların yapı taşları, asal sayılar ve diğer sayıların asal sayıları nasıl etkilediği ve bunların asal sayılardan nasıl inşa edildiği ile de ilgilenir.
Strogatz (10:37): Öyleyse, sayı teorisi, bugünkü amaçlarımız açısından, sanırım, asal sayılara özel bir ilgi göstererek tam sayıların incelenmesi konu edinen bir alan. Bu oldukça iyi bir başlangıç gibi görünüyor. Sanırım bundan daha fazlası var. Ama belki bu bizim için iyi bir tanımdır. Öyle mi dersiniz?
Wood (10:50): Bu iyi, bu iyi bir başlangıç. Demek istediğim, tam sayılardan daha karmaşık olan sayı sistemlerini düşünmeye başlarsanız ne olur? 2'nin karekökü gibi diğer sayıları girmeye başladığınızda, o zaman asal sayılar ve çarpanlara ayırma ile ilgili neler olacaktır? Başka sorulara gidebiliriz. Ama dürüst olmak gerekirse, sadece tam sayılarda ve asal sayılarda bile pek çok zengin ve güzel matematik vardır.
Strogatz (11:16): O halde bunu akılda tutarak, Sayı teorisi çalışmayı neden seviyorsunuz? Sizi ona çeken neydi?
Wood (11:22): Sanırım soruların bu kadar somut olabilmesi hoşuma gidiyor. Bilirsin, ilkokul çocuklarıyla gidip konuşabilir ve onlara bile yaptıklarımı anlatabilirim. Bu yüzden, bir yandan soruların çok somut olması, diğer yandan onu çözmeye çalışmanın çok zor olması gibi şeyler üzerinde çalışmak benim için oldukça eğlencelidir. Demek istediğim, insanlar kelimenin tam anlamıyla binlerce yıldır tam sayılarla, asallarla ilgili soruları yanıtlamaya çalışıyorlar.
(11:54) Ve matematiğin birçok dalı vardır. Modern sayı teorisinin önemli parçalarından biri, insanların uzun süredir üzerinde çalıştıkları bu inatçı eski sorular üzerinde ilerleme kaydedebilmek için yeni fikirler getirmesi ve matematiğin diğer bölümleriyle bağlantı kurmasıdır. Kendime sayı teorisyeni desem de, matematiği farklı alanlarını da kullanmaktayım. Geometri ve topoloji ve uzayların şekillerini incelemekten, olasılık ve rastgeleliği incelemeye kadar. Her türlü matematiği kullanıyorum ama tam sayılar, asal sayılar ve çarpanlara ayırma gibi şeyler hakkında bir şeyler söylemeye çalışıyorum.
Strogatz (12:36): Evet, matematiğin birbirine bağlı dev bir fikir ağı olarak vizyonunu seviyorum ve en sevdiğiniz şeyin belirli bir bölümünde yaşamak isteyebilirsiniz. Ama asal sayılardan, sayı teorisinde belirli bir ilgi alanı olarak bahsettiniz. Orada zor olan nedir? Gizemlerinden bahseder misiniz? Bahsettiğiniz yüzlerce yıllık sorunlardan bazıları nelerdir?
Wood (13:05): Pekala, en büyük ve en önemli sorulardan biri, belki de yaklaşık 120 yaşında Diyelim ki asal sayıları listelediniz, yüze veya bine veya yüz bine veya bir milyona, bir milyara kadar. Asal sayıları giderek daha büyük sayılara doğru listelerken, içinden geçtiğiniz sayılardan kaç tanesi gerçekten asal olacak? Riemann hipotezinin ana noktası bu sorudur. Ve 1 milyon dolar ödüle sahip bir problemdir. Bu en ünlü sorulardan biridir ve bunu nasıl yapacağımıza dair hiçbir fikrimiz yok.
Strogatz (13:58): Tamam. Ama komik, değil mi? Çünkü listeyi yapmaya başladığınızda, birisi 100'e kadar asal olan sayıları gelişigüzel bir şekilde listelemeye başlasa bile, bazı komik şeyler fark ediyorsunuz. Mesela ilk 11 ve 13'te 2 ayrılar. 15, pekala, bu işe yaramaz, çünkü 5 ve 3'e bölünebilir. Sonra 17, yani şimdi 13 ile 17 arasında 4'lük bir boşluk var. Ama sonra 19 yine yakın. Bilmiyorum, demek istediğim, asal sayılar arasındaki boşluk biraz riskli olabilir. Sanki bazen orada oldukça büyük bir boşluk oluyor ve bazen yan yana duruyorlar, sadece 2 gibi.
Wood (14:31): Evet, yani boşlukları ve bu boşlukların yapılarını anlamak da büyük bir ilgi konusu oldu. Son on yılda, asal sayılar arasındaki boşluğu anlamada dikkate değer ilerlemeler oldu. Ama hala cevabını bilmediğimiz, gerçekten kışkırtıcı, temel bir soru var. 11 ve 13'ün farkının 2 olduğundan bahsettiniz. Dolayısıyla bu tür asal sayılara ikiz asallar denir. Asal sayıların birbirine 2'den daha yakın olmasını bekleyemezdik çünkü 2'den sonra hepsinin tek olması gerekmektedir. İşte matematikte açık bir soru, yani cevabını bilmiyoruz: Sonsuz sayıda ikiz asal çift var mı? Ve burada, bir varsayım var, bu varsayım, evet olacaktır. Demek istediğim, “evet, sonsuza kadar devam etmeliler ve her zaman daha fazlası olmalı” gibi bir varsayım değil, aynı zamanda ilerledikçe kaç tane bulacağınıza dair bir varsayım bile var. Ama bu tamamen açık. Bildiğimiz kadarıyla, gerçekten büyük bir sayıya ulaştığınızda, bunlar durur ve daha fazla ikiz asal çift bulamamış olabilirsiniz.
Strogatz (15:40): Bunda çok şiirsel, dokunaklı bir şey var, bu düşünce, sanki bu bir noktada satırın sonu olabilirmiş gibi. Yani, muhtemelen ikimiz de buna inanmıyoruz. Ama mümkün, sanırım, karanlıkta, çok uzaklarda, bilirsiniz, sayı doğrusunda birbirine sokulmuş son bir çift ikiz olması düşünülebilir.
Wood (15:57): Evet, olabilir. Ve bilirsiniz, matematikçiler olarak, bilirsiniz, bilmiyoruz deriz. Kaç tane bulduğunuza dair bir grafik çizebilseniz bile, bu grafiği çizerseniz, asla geri dönmeyecek bir oranda yükseliyor gibi görünüyor. Ama sanırım matematik ve bilim arasındaki farkın bir kısmı da bu, bu şüpheciliği koruyoruz ve “bilmiyoruz” diyoruz. Demek istediğim, belki bir noktada grafik tersine döner ve artık daha fazla olmayabilir.
Strogatz (16:29): O halde — oradaki grafik görselleştirmenizi beğendim, çünkü bence herkes bu fikirle, bir çizelge yaparak veya bir tür grafik yaparak alaka kurabilir. Bilirsin, asal sayıları bir çeşit veri gibi düşünmek. Ve bence bu, olasılık teorisi hakkında konuşmaya başlamamız için iyi bir zaman olabilir. Ve asal sayılarla bağlantılı olarak olasılık ve istatistikten bahsetmek biraz tuhaf görünüyor olabilir çünkü burada hiç şans yok. Asal sayılar, bizim verdiğimiz, yani bölünemezler tanımıyla belirlenir. Ama yine de sizin gibi matematikçiler ve sayı teorisyenleri asal sayıları düşünürken istatistiksel veya olasılıksal argümanlar kullandılar. Yazı tura atmayı kullanarak benim için buna benzer bir şey çizebilir misin merak ediyorum ve başta bahsettiğimiz şeye, tek sayılar ve çift sayılara tekrardan dönelim isterim.
Wood (17:14): Tamam. Asal sayılardan farklı olarak, aslında tek ve çift sayıların örüntüsünü çok iyi anlıyoruz. Tek, çift, tek, çift oluyorlar tabii ki. Ancak bu örüntüyü anlamadığımızı varsayalım. Bunu, bir milyona kadar olan tüm sayılara baktığınızda kaç tane tek sayı bulabileceğinizi anlamak için kullanıyoruz. İki olasılık olduğundan, bir sayının tek veya çift olabileceğini hayal edebilirsiniz, belki birisi gidip her sayı için yazı tura attı ve madeni para tura gelirse sayı tekti, aynı şekilde madeni para yazı gelirse, sayı çiftti. Ve böylece yazı tura atan kişinin sayı doğrusu boyunca yürümesini, her sayıda bir yazı tura atmasını sağlayabilirsiniz.
(18:03) Şimdi, bir yandan bu saçmalık. Öte yandansa, yazı tura atma modeli bazı şeyleri doğru yapacaktır. Örneğin kabaca bir milyona kadar olan sayıların kaç tanesi çifttir? Bir milyon gibi çok sayıda yazı tura atarsanız, örneğin yazı gelecek olması yazı tura atma sayısının yaklaşık yarısı olacaktır. Ve bu model, ne kadar saçma olursa olsun, yine de bazı tahminleri doğru bir şekilde yapabilir. Ve şunu söylemeliyim ki bu kulağa aptalca gelebilir çünkü bu sorunun cevabını zaten biliyoruz. Buradaki fikir, tek sayıların göründüğü yer yerine asal sayıların göründüğü yerler gibi daha karmaşık kalıplar için modeller oluşturmamızdır.
Strogatz (18:55): Evet. Demek istediğim, bunun altını çizmemiz gerektiğini düşünüyorum — asal sayıların ne kadar gizemli olduğunun. Tek sayılar için bir formül olduğu gibi, asal sayılar için de bir formül yoktur. Mesela, burada gerçekten saçma şeylerden bahsediyoruz, ortalama özellikler olan özellikleri tahmin edebilen bu istatistiksel modellere sahip olmak aslında çok değerli. Büyük sayıdan küçük, sayıların yarısı tek olacaktır. Bu, asal sayılar söz konusu olduğunda çok ciddi ve ilginç bir sorudur. Büyük bir sayıdan küçük, sayıların hangi kısmı asaldır? Ve dediğin gibi, bunu doğru yapan istatistiksel bir model yapabilirsin. Ve sonra, aynı model, büyük bir sayıdan daha az, ikiz asal sayı olacağını tahmin etmek için kullanılabilir mi? Aynı model bu durumda iyi bir iş çıkarır mı?
Wood (19:41): Asal sayılar söz konusu olduğunda, eğer bir model oluşturuyorsak — Biliyorsunuz, matematikçilerin kullandığı Cramér asal sayılar modeli diye bir model var. Sayı doğrusu boyunca yürüyen birini hayal ettiğimiz, asal sayıların yazı-tura atan bir modelini yapıyor olsaydık, ve her sayıda, bilirsiniz, yazı tura atarak, o sayının asal olup olmadığına karar vermek için, asal sayılar hakkında bildiğimiz kadarını bu modele dahil ederdik. Her şeyden önce, büyük sayıların asal olma olasılığının küçük sayılara göre daha az olduğunu biliyoruz.(*Asal çarpan olayından dolayı. ÇN) Yani bu madeni paraların ağırlıklı olması gerekirdi. Ve biz — tam olarak beklediğimiz ağırlıkları koymaya çalışmamız gerekir. Ve iki asal sayının yan yana olamayacağı gibi şeyleri biliyoruz, çünkü bunlardan biri tek, biri çift olmak zorunda. Böylece bunu modele koyduk. Ve sonra asal sayılar hakkında bildiğimiz daha çok şey var.
(20:37) Yani model, yazı tura atma modeliyle başlayan bir şey, ancak daha sonra tüm bu diğer kurallar tarafından değiştiriliyor, ve asal sayılar hakkında bildiğimiz diğer tüm şeylerde öyle. Ve bildiğimiz tüm bu şeyleri modele koyduğunuzda, o zaman bu yazı tura atan modele soruyorsunuz, peki, sonsuz sıklıkla, madeni paraların sadece 2 farkla asal geldiğini görüyor musunuz? Ve model size bunu görüyoruz diyor. Aslında, size bu çok özel oranda bir formül vereceğini görüyoruz. Ve sonra, gerçek ikiz asal sayıların grafiğini çizerseniz, modelin öngördüğüne karşı yazı tura atılmayan gerçek sayılarda modelin, ilerledikçe bulacağınız ikiz asal çiftlerin sayısı için size çok doğru bir tahmin verdiğini görüyorsunuz. Ve sonra belki bu modelin neden bahsettiğini bildiğini düşünürsün.
Strogatz (21:31): Bu harika. Demek istediğim, bu biraz önemli, oraya vardığımız şey, bilgisayar kelimesini henüz kullanmadınız. Ama bunu elle yapmadığınızı varsayıyorum. İkiz asalları listeleyen insanlar, bilmiyorum, neden bahsediyoruz? Trilyon trilyon trilyon? Demek istediğim, bunlar bahsettiğimiz büyük rakamlar, değil mi?
Wood (21:49): Pek tabii, ikiz asalların listesi kesinlikle bilgisayar tarafından yapılıyor. Ama bu modeli kurmak ve modelin verdiği formülü bulmak bu, esasen matematikçiler tarafından model üzerinde düşünülerek ve onunla bir sonuca varılarak elle yapılması gereken bir durumdur.
Strogatz (22:07): Bu çok havalı. Modelin özünü gösterdiği yer burasıdır, yani model aslında bilgisayarın ne gördüğünü tahmin edebilir. Ve bu tahmini yapmak için bir bilgisayar gerekmez. Bu elle, insanlar tarafından yapılanlar kanıtları tetikleyebilir. Bunun dışında, modelin özelliklerinin kanıtları olması, ilgilendiğiniz şeyin henüz kanıtları olmasını gerektirmez.
Wood (22:28): Doğru. Ve bir noktada bilgisayar durur. Biliyorsunuz, sadece çok fazla bilgi işlem gücü var. Ama elde edeceğiniz, modelin size vereceği, kanıtlayabileceğiniz bu formül, bu model yazı tura atma durumu hakkında yine doğrudur. Bu formüle, bilgisayarınızın hesaplayabileceğinden çok daha büyük sayılar koyabilirsiniz.
Strogatz (22:53): Yani bize biraz rastgeleliğin sayı teorisindeki ilginç fenomen modellerini vermeye nasıl yardımcı olabileceğinden bahsediyorsunuz ve eminim bu matematiğin diğer bölümlerinde de doğrudur. Sadece modeller için değil, gerçek kanıtlar sağlamak için de rastgeleliği kullanabileceğiniz durumlar var mı?
Wood (23:10): Kesinlikle. Matematiğin bir başka dalı olan olasılık teorisi vardır. Ve olasılık teorisinde, rastgele sistemler ve onların nasıl davrandıkları ile ilgili teoremleri ispatlanır. Ve şöyle düşünebilirsiniz, eğer rastgele bir şeyle başlarsanız ve onunla bir şeyler yaparsanız, her zaman rastgele bir şeyiniz olur. Ancak olasılık teorisinde bulunan dikkat çekici güzel şeylerden biri, bazen rastgele bir şeyden deterministik bir şey elde edebilmenizdir.
Strogatz (23:45): Peki, bu nasıl çalışıyor? Ne gibi?
Wood (23:48): Çan eğrisini gördünüz, ya da matematikçiler buna normal dağılım derler. Doğada her yerde görünür. İnsanların tansiyonlarına, bebeklerin doğum kilolarına falan baktığınızda göründüğü gibi. Ve bu çan eğrisinin doğanın bir gerçeği olduğunu düşünebilirsiniz. Ama aslında, olasılık teorisinde merkezi limit teoremi olarak adlandırılan bir teorem var ve size bu çan eğrisinin bir anlamda doğanın bir gerçeği değil, matematiğin bir gerçeği olduğunu söyler. Merkezi limit teoremi size, bir sürü küçük rasgele etkiyi bağımsız olarak birleştirirseniz, bunun çıktısının her zaman belirli bir dağılımla eşleşeceğini söylemektedir. Bu şekil, bu çan eğrisi. Matematik ve olasılık teorisi, eğer çok sayıda küçük bağımsız rasgele şeyi birleştirirseniz, tüm bu kombinasyonun sonucunun size bu çan eğrisine benzeyen bir dağılım vereceğini kanıtlayabilir. Ve böylece — girdilerin nasıl olduğunu bilmeseniz bile. Ve bu gerçekten güçlü bir teorem ve matematikte kullanılan güçlü bir araçtır.
Strogatz (25:05): Evet, kesinlikle öyle. Ve küçük efektlerle neler olup bittiğini bilmenize gerek olmadığı vurgusu hoşuma gitti. Bu, bir şekilde, kaybolur. Bu bilgiye gerek yok. Küçük etkilerin doğasının ne olduğunu bilmeseniz bile çan eğrisi tahmin edilebilir. Yeter ki çok olsunlar ve az olsunlar. Ve birbirlerini etkilemezler, değil mi, bir anlamda bağımsızlar.
Wood (25:27): Evet, kesinlikle. Ve bu bir fikir, bilirsiniz, bazen buna olasılık teorisinde evrensellik denir, çok sayıda rasgele girdi girerseniz, çıktıyı tahmin edebileceğiniz belirli makine türleri vardır. Örneğin, makineye ne koyduğunuzu bilmeseniz bile bu çan eğrisini veya bu normal dağılımı elde edersiniz. Ve çok iyi anlamadığımız şeyler olduğunda bu inanılmaz derecede güçlü çünkü -
Strogatz (25:56): Ama yani, bana diyorsun ki — ah, sözünü kestiğim için üzgünüm — ama şimdi bunun sayı teorisinde de olduğunu mu söylüyorsun? Bir şekilde evrensellik fikrinin sayı teorisinde ortaya çıktığını mı? Yoksa rüya mı görüyorum?
Wood (26:09): Pekala, bir dereceye kadar, bunun benim bir hayalim olduğunu söyleyebilirim. Biliyorsunuz, biz sadece bunun gerçekleştirildiğini görmek için ilk adımları atıyoruz. Yani bu sadece senin değil, benim de hayalim. Bugün yaptığım ve iş arkadaşlarımla birlikte üzerinde çalıştığımız işlerden bazıları, bu tür bir hayali gerçeğe dönüştürmeye çalışmaktır, böylece, sayılarla ilgili cevabını bilmediğimiz bu kafa karıştırıcı sorulardan bazıları, belki bir çan eğrisi gibi, normal bir dağılım gibi ortaya çıkan ve hangi gizemlerin nasıl konulduğunu bilmesek bile makineden çıktığını kanıtlayabileceğimiz kalıplar olduğunu anlayabileceğiz.
Strogatz (26:55): Aslında bu çok ilham verici, heyecan verici bir vizyon ve umarım hepsi gerçekleşir. Bugün bizimle konuştuğun için çok teşekkür ederim, Melanie.
Wood (27:03): Teşekkürler. Benim içinde çok eğlenceliydi.
KAYNAKLAR;
