Matematikten Seçme Konular: Çizge Kuramı
Gelin sizlere bir o kadar gündelik hayattan ama bir o kadar derin bir matematik konusundan bahsedeyim; Çizge Kuramı!
Denir ki her şey 18.yüzyılın başlarında bir problemi çözmek başladı. Şimdinin ve o dönemin matematikçileri arasında ünlü olan bu problemin ismi o zamanın Prusya’da bir kasabası olan Königsberg’ten adını alan ‘Königsber Köprü Problemi’ dir. Problem kısaca bu köprülerden yalnız 1 kez geçerek bütün şehri dolaşmanın mümkünlüğü hakkındaydı ve o zamanın genel kanısı bunun mümkün olmayacağı yönündeydi ama matematikte sezgiler ne kadar önemli olsalarda, bunun doğruluğunu göstermediğiniz taktirde her şey beyhude kalmaktadır. Bu kanıtı yapmaksa gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerden olan Leonhard Euler’e kalmıştır.
L.Euler’in Yaklaşımı ve Çözümü
Öncelikle soruyu yalınlaştırarak başlamış, ve aşağıdaki temsili çizimi kara parçalarını harflerle ve köprüleriyse doğru parçalarıyla çizerek göstermiştir.
Tabiki Euler’in kanıtı bu konuda kafa yormayı ve bir matematik arka planı gerektirse de sözel olarak şu şekildedir;
Birleşik bir çizgenin bütün elemanlarını bir ve yalnız bir defa kullanarak dolaşmak için o çizgenin tek dereceli düğümlerinin sayısı eğer varsa iki olmalıdır. Tek dereceli düğümler dolaşmanın başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafta böyle düğümler yoksa dolaşmaya herhangi bir düğümden başlanabilir.Çözümün temelinde yatan düşünce şudur: Bir düğüm, başlangıç ya da bitiş düğümü değilse o düğüme gelen kişinin turu tamamlayabilmek için oradan ayrılması gerekecektir. Dolayısıyla bu tip düğümler çift dereceleri olmalıdır. Oysa tek dereceli bir düğüme, örneğin D düğümüne (Euler’in basitleştirmesi görselinde)ikinci kez gelen bir kişi çıkış yolu bulamayacaktır. Dolayısıyla bu düğüm ya gezintinin bitiş düğümü olmalıdır ya da başlangıç düğümü olarak seçilmelidir ki ikinci gelişte çıkış yolu bulunabilsin. Buna göre tek dereceli(dereceyi kabaca tanımlayalım: bir köşeye döngü yapmadan gelen doğruların sayısıdır) düğüm sayısı ikiden fazlaysa gezinti tamamlanamayacaktır. Bu şekilde Euler bu problemin imkansız olduğunu göstermiştir.
Bu hikayenin sonunda ortaya çıkan Çizge Kuramı Euler’in bile aklına gelmeyecek şekilde günümüzde bilgisayar bilimlerinden sosyal bilimlere, fizikten dil bilimine, bir çok alanı etkilemektedir.
Daha fazla bilgi için kaynak bölümündeki kitaba veya internette bulunan yüzlerce websitesine bakabilirsiniz.
KAYNAKLAR;
- A first course in discrete mathematics- Ian Anderson
2. Leonhar Euler
