Koşullu Olasılık ve Bayes Teoremi
Koşullu Olasılık
Bu yazıda temel bilimlerle uğraşan hemen hemen herkesin hayatında bir kez bile olsa duyduğunu düşündüğüm bir teoremden bahsedeceğim. Yazının bu ilk kısmında koşullu olasılığın tanımını verip uygulamalarına ait 2 adet örnek çözeceğim. Bir sonraki yazıdaysa ana teoremden bahsedeceğim. Şimdiden keyifli okumalar.
Bir deneyin sonuçlarını öngörebilmek için bazı bilgileri önceden bilmemiz veya ön kabullerimiz bu deneyin sonucu hakkında daha kesin çıkarımlar yapmamıza vesile olur.
Örneğin, İstanbul’un Kadıköy semtinde rastgele çevirdiğimiz bir kişye AKP’ye oy verip vermediğini sorduğumuzda alacağımız cevap ile Fatih semtinde alacağımız cevaplar farklı olacaktır. Buradaki alınan cevapların dağılım problemini çözmek için kullandığımız aracımıza pek aşina olmadığınızı düşünüyorum. Bu nedenle yeni bir tanım yapma gereği hissetmeliyiz.
Koşullu Olasılık Kavramı
Diyelim ki A, Türkiye’de yaşayıp AKP’ye ve B’de Kadıköy’de yaşayan insanları temsil etsin. N(B) ile AKP’ye oy verenleri ve N(AB) ile bu oy verenlerden Kadıköy’de yaşayanları temsil etmesi koşuluyla koşullu olasılığımız N(AB) / N(B) olacaktır. Bundan sonra bu koşullu olasılığı P(A | B) ile göstereceğiz.
Şimdi P(A | B) koşullu olasılığı üzerine genel bir denklemimizi yazmayı deneyelim. Diyelim ki N(T), Türkiye’de yaşayan insanları temsil etsin. Buradan hareketle aşağıdaki eşitliği rahatlıkla bulabiliriz.
Bu eşitlikte bahsi geçen olasılıklar bize neyi anlatıyor;
- P(A) := Bütün seçmenlerden AKP seçmenlerinin oranı
- P(A | B) := Kadıköy’deki seçmenler arasından AKP seçmeninin oranı
- P(AB):= Kadıköy’deki AKP seçmenlerinin tüm ülkedeki seçmenler arasındaki oranı.
Tanımlarımızdan ve yukarıdaki eşitlikten hareketle A ve B iki olay ve P(B)>0 olursa aşağıdaki eşitlik geçerlidir.
Şimdi iki basit ve temel örnekle anlattıklarımızı pekiştirelim.
Örnek 1) Varsayalım ki bir şirket aynı ürünü üreten iki adet üretim tesisine sahip olsun. Belli bir periyotta 1 numaralı tesis, 1000 adet üretim yaptığında 100 adet hatalı ürün üretirken, 2 numaralı tesis 4000 adet üretim yaptığında 200 adet hatalı ürün üretsin. Tüm üretimden aldığımız bir ürünün hatalı çıktığı bilindiğine göre bu ürünün 1 numaralı tesisten olma olasılığı nedir?
Çözüm) A’ya 1 numaralı tesisin üretimleri, B’ye ise 2 numaralı tesisin üretimleri diyelim. D ise hatalı ürünler kümesini temsil etsin. P(A | D) sonucunu bulmak istediğimiz olasılıktır. Basitçe toplam üretimin 5000 adet ve toplam hatalı üretiminse 300 adet olduğunu görelim. Dikkatli birisi 3 adet hatalı üründen 1 tanesinin A tesisinden geldiğini hemen gözlemleyecektir. Biz yukarıda bulduğumuz eşitliği uygulayarak bu sonucu görelim.
P(AD) = 100/5000, P(D)= 300/5000 ise P(A | D) = P(AD)/P(D) = 1/3.
Örnek 2) Bir kutunun içiresinde 2 tanesi adil 1 tanesi adil olmayan 3 adet madeni para olduğunu varsayalım. Adil olmayan paranın 2 yüzüde yazı olsun. Bu kutudan rastgele seçip attığımız madeni paranın bize bakan tarafının yazı geldiği bilindiğine göre diğer tarafınında yazı olma olasılığı nedir?
Çözüm) Diyelim ki A yazı gelme olasılığını, B ise her iki tarafında yazı olma olasılığını temsil etsin. Bu durumda bulmak istediğimiz olasılık P(B | A) olacaktır.
P(A)= 3/4 ve P(BA)= 1/2 olur.(B durumun A durumun alt kümesi olduğu gözünüzden kaçmamalı). Buradan hareketle,
P(B | A) = P(BA)/P(A)= 2/3.
Yazının diğer ikinci kısmı Bayes teoremle devam edecektir.
