Euler Formülü Nedir?
Genellikle matematiğin en güzel formülü olarak iltifat edilen,insanların tişörtlerini giyip, dövmesini bile yaptırdığı bu formül, neden matematisyenler arasında bu kadar kutsal sayılır?
Önce formülü verelim;
Aşağıda belirttiğimiz üç sabit matematikte çok önemli yere sahiptir. Ve ayrıca,0 ve 1 içerdiğinden, bu formül için; 4 farklı matematiksel operasyon ve eşitliği kullanarak, 5 farklı önemli sayıyı birleştirdiğini söyleyebiliriz.İşte tam olarak bu yüzden, matematisyenlerin neden bu formüle aşık olduğunu bir nebze anlamış olduk.
ve e=2,718…
u üç sabit matematikte çok önemli yere sahiptir. Ve ayrıca,0 ve 1 içerdiğinden,bu formül için;4 farklı matematiksel operasyon ve eşitliği kullanarak,5 farklı önemli sayıyı birleştirdiğini söyleyebiliriz.İşte tam olarak bu yüzden,matematisyenlerin neden bu formüle aşık olduğunu bir nebze anlamış olduk.
Fakat bütün bunlar ne ve nereden geliyor?Yukarıda da bahsedildiği gibi
.İlk başta bunu görmek şok edici olabilir.Çünkü biz negatif bir sayıyı karekök içine alanayacağımızı görmüştük.Ama onu basitçe -1'in karekökü i’dir diye bu yazıda kabul alabiliriz .Daha sonra yeni bir sayı sistemi, karmaşık sayıların inşasına başlayabiliriz.Karmaşık sayıların, x ve y gerçek sayılar olduğunu varsayarak,x+iy formunda yazılırlar.Nasıl ki gerçek sayıları,sayı doğrusu üzerindeki bir noktayla temsil ediyorsak, karmaşık sayıları z=x+iy düzlemde bir noktayla temsil edebiliriz.
Portrait by Johann Georg Brucker.
Bazense,karmaşık bir düzlemde bir noktayı yönlü oklar ile göstermek daha uygun olabilir.
Böyle bir oku tanımlamak için,uzunluk olarak r ve x-eskeniyle pozitif bir açı tanımlamamız gerekir.Bunlara polar koordinat deriz.Daha sonra basit trigonometrik eşitlikleri kullanarak.
,x+iy şeklinde temsil edilen z sayısını ,
Şeklinde ifade edebiliriz.Şimdi kritik kısım geliyor.r ve
gerçek sayıları için,
Bunu ‘’power’’serilerini kullanarak ayrıca ispat edebilirsiniz.Bunun güzelliği, üstsel bir ifade ile iki trigonometrik fonksiyonun arasında bir bağlantı kurmasından gelir.Yani herhangi bir z karmaşık sayısın
formunda yazabileceğimizi gösterir.
