Ceva Teoremi ve Kullanımı Hakkında

Temel geometri çok ilginç bir konudur. Örneğin, Öklid’i gidip bir lise öğrencisiyle de okuyabilirsiniz üniversite öğrencisiylede.Bu yazıda bahsedeceğim pek önem verilmeyen bir konu olan Ceva Teoremidir. Okuma yazması olan herkesin rahatça takip edebileceğini düşünmekteyim.

Öncelikle basit bir tanımla başlayalım. Bir üçgenin köşesini karşı taraftaki herhangi bir noktaya birleştiren doğru parçasına ‘Cevian’ diyelim. Aşağıdaki üçgende AX, BY ve CZ’nin ‘Cevian’ olduğunu söylememe gerek yoktur diye umut ediyorum.

Şimdi gelelim ana teoremimize;

Ceva Teoremi: Eğer AX, BY ve CZ 3 ‘Cevian’ bir noktada kesişiyorsa, BX/XC . CY/YA . AZ/ZB = 1'dir.

Not: İspata geçmeden önce geometri yazımında demek istediğim iki kelam var. Öncelikle aksi belirtilmedikçe alınan her üçgen çeşit kenardır. Kullanılan yazım notasyonu hep bir devri takip eder. Böyle yapılmasının sebebi yukarıda da olduğu gibi işlemlerin kolayca sıralanmasına yardımcı olmaktır.

Kanıt: Yukarıda ki çizimi baz alıp alanları oranlayarak basit bir şekilde şu gösterebiliriz.

BX/XC= (ABX)/(AXC)=(PBX)/(PXC)= [(ABX)-(PBX)] / [(AXC)-(PXC)]= (ABP)/(CAP).

Aynı şekilde, CY/YA=(BCP)/(ABP) ve AZ/ZB=(CAP)/(BCP) olacaktır. Sonuç olarak, bunlrı çarptığımızda sonuç 1 olacaktır ve kanıtımız tamamlanmıştır.

Peki bu teoremdeki verilen argümanın tersi geçerli midir? Yani, eğer 3 ‘Cevian’ oranlarının çarpımı 1 ise, bunlar bir noktada kesişirler mi? Cevabımız evet ve kanıt yukarıdaki kanıtımıza benzer olacaktır. Okuyan ve merakı olanlara bunu egzersiz olarak bırakıyorum.

KAYNAKLAR;

1.Geometry Revisited by H.S.M Coxeter and S.L. Greitzer